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Solucionar a conjectura de Collatz pode abrir novos horizontes e gerar novas e importantes técnicas na teoria dos números
"Mapa fractal de Collatz na vizinhança de uma reta real": belo, mas indecifrável
Simples não significa fácil.
E este problema, um dos buracos negros da matemática, é prova disso.
Ele começa dando muitas possibilidades de como chamá-lo: talvez a denominação mais comum seja conjectura de Collatz, em referência ao matemático alemão Lothar Collatz, o primeiro a propô-lo, em 1937.
Mas é possível encontrá-lo como conjectura de Ulam (pelo matemático polonês-americano Stanisław Marcin Ulam), problema de Kakutani (pelo matemático nipo-americano Shizuo Kakutani), conjectura de Thwaites (pelo acadêmico britânico Bryan Thwaites), algoritmo de Hasse (pelo matemático alemão Helmut Hasse) ou problema de Siracusa.
E não é tudo: a sequência em questão também pode ser chamada de números de granizo ou números maravilhosos.
O nome mais descritivo talvez seja conjectura de 3n + 1.
Simplicidade complexa
Mas não é isso que desafia os matemáticos: seja qual for o nome, continua sendo o problema impossível mais simples de todos.
Mas não é isso que desafia os matemáticos: seja qual for o nome, continua sendo o problema impossível mais simples de todos.
Qualquer pessoa que saiba somar, dividir e multiplicar pode entender do que se trata, seguir a sequência de números e até tentar resolvê-lo.
Desde os anos 1930, contudo, ninguém conseguiu explicá-lo, prová-lo ou refutá-lo.
Em algum momento especulou-se que a conjectura pudesse ser uma estratégia soviética para distrair os cientistas.
Deste modo, antes de apresentar o problema, vale lembrar uma advertência de um dos matemáticos mais produtivos – e excêntricos – do século 20, o húngaro Paul Erdős:
"A matemática não está pronta para este tipo de problema (...) Absolutamente impossível."
Eis o problema:
Comece com um número natural inteiro qualquer (1, 2, 3, 4, 5...).
Comece com um número natural inteiro qualquer (1, 2, 3, 4, 5...).
* Se o número é par, divida-o por 2
* Se é ímpar, multiplique-o por 3 e some 1
Depois aplique essas mesmas regras simples ao resultado.
Comecemos com 10, que é par.
10 ÷ 2 = 5, que é ímpar, então aplicamos a segunda regra.
5 x 3 = 15 + 1 = 16.
Como é par... 16 ÷ 2 = 8
8 ÷ 2 = 4
4 ÷ 2 = 2
2 ÷ 2 = 1
Até aqui, simples.
O que torna o problema intrigante é que não importa com qual número comece, eventualmente sempre chegará a 4, que se converte em 2 e termina em 1.
Pelo menos é esse o caso com todos os números que foram testados, e já se tentou usar alguns quase absurdos.
Programador Jason Davies criou gráfico sobre a conjectura de Collatz: todos números levam ao 1
Supercomputadores fizeram o problema com números que vão até aproximadamente 5.764.607.500.000.000.000.
Todos eventualmente chegam a 2 ÷ 2 = 1.
Contudo, como os números são infinitos, isso não prova que esse seja o caso para todos os números naturais.
Mas como não se encontrou uma exceção, tampouco há provas de que não seja assim.
Outra questão é resolver o eterno por quê. Por que os números se comportam assim?
Granizo
O problema chega sempre ao mesmo ponto, não importa como.
O problema chega sempre ao mesmo ponto, não importa como.
Interações necessárias para chegar a 4, 2, 1 para os números de 2 a 10.000.000
A confusão é que na hora de resolvê-lo desenhando um algoritmo (sequência finita de regras, raciocínios ou operações que permite solucionar classes semelhantes de problemas), há pedras de gelo no caminho.
Como o granizo nas nuvens antes de cair, os números saltam de um lugar ao outro antes de chegar ao 4, 2, 1.
Uns mais e outros menos, sem sentido aparente.
A maior quantidade de escalas que faz um número inicial menor de 100 milhões para chegar a 4, 2, 1 é 986.
Mas enquanto a "viagem" é mais curta para os múltiplos de 2, outros levam mais tempo.
Um exemplo citado com frequência é a comparação entre os números 8.192 e 27.
O 8.192 leva 13 passos para chegar ao final aparentemente inescapável: 4, 2, 1.
O número 27 não apenas leva 111 passos para chegar, mas no caminho sobe até 9.232 antes de poder alcançar o 4, 2, 1.
A ausência de padrões dificulta ainda mais resolver uma conjectura já classificada como impossível.
Se o problema é quase impossível, vale a pena continuar tentando desvendá-lo?
Curioso e relevante?
Se o problema é tão difícil, e talvez impossível, vale a pena continuar tentando resolvê-lo?
Se o problema é tão difícil, e talvez impossível, vale a pena continuar tentando resolvê-lo?
"Quando passar dias ou semanas tentando, em vão, resolver um problema, pense no pobre Sísifo e em sua pedra", aconselhou o geometrógrafo Coxeter.
"Como (o matemático alemão) Felix Behrend diz ao final de seu livro, 'Sísifo e sua pedra são símbolos do homem e de sua eterna luta, incessante, inalcançável e, contudo, sempre triunfal. O que mais se pode pedir?'"
Poético, mas se isso não o convence sobre a importância de esclarecer esse mistério, recorramos aos especialistas do Mathematics Stack Exchange, site de perguntas e respostas para pessoas que estudam matemática em qualquer nível e profissionais de áreas relacionadas.
"Os matemáticos suspeitam que solucionar a conjectura de Collatz abrirá novos horizontes e desenvolverá novas e importantes técnicas na teoria dos números", disse Greg Muller.
"O problema de Collatz é suficientemente simples para que qualquer pessoa o entenda, e não se relaciona apenas com a teoria dos números, mas com problemas de decidibilidade, o caos e com fundamentos da matemática de computação. Melhor impossível", escreveu o usuário Matt.
"Outra razão é que, por ser fácil de apresentar e entender, tem potencial de atrair jovens para a matemática. Eu mesmo soube de sua existência no ensino médio e não resisti a seu encanto", comentou Derek Jennings.
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